В пределах первого десятка дети должны были усвоить 45 случаев сложения и 45 случаев вычитания в пределах второго десятка. Таблица сложения, которая играет важную роль при автоматизации вычислений, не исчерпывается
теми случаями сложения, которые относятся к концентру десяти. Остается еще 36 случаев сложения однозначных чисел, сумма которых превышает число 10. Эти 36 случаев дети проходят при изучении второго десятка. Кроме табличных случаев, имеется еще 55 случаев сложения двузначного числа с однозначным и столько же случаев сложения однозначного с двузначным. К этому надо добавить равный по объему материал вычитания.
Табличное сложение и вычитание в пределах второго десятка называется также сложением и вычитанием с переходом через десяток, а все остальные случаи — сложением и вычитанием без перехода через десяток.
Внетабличное сложение легче табличного, поскольку единицы одного из слагаемых уже сгруппированы в соответствии с требованиями десятичной системы счисления: десятичный состав одного из слагаемых нам дан и этим облегчается отыскание десятичного состава суммы.
Табличное сложение труднее внетабличного, поскольку в этом случае оба слагаемых — однозначные числа. Чтобы выразить их сумму в соответствии с требованиями десятичной системы счисления, необходимо по-новому сгруппировать единицы суммы. Можно сказать, что в этом случае состав суммы является искомым. Даже взрослый человек испытывает затруднение, если ему предложить найти сумму двух однозначных чисел применительно, скажем, к требованиям семеричной или двенадцатиричной системы счисления. Чему, например, равняется сумма чисел 9 и 8 по двенадцатиричной системе счисления? Она равняется 15, так как 9 + 3 = 12, что составляет единицу второго разряда по двенадцатиричной системе. Но осталось прибавить еще 5 единиц, так как 8 — 3 = 5. Одна единица второго разряда и 5 единиц первого разряда и составляют число 15, хотя назвать его пришлось бы другим числительным: наше числительное «пятнадцать», или пять на десять, не соответствует двенадцатиричной системе счисления.
Поставим же себя в положение ученика, который впервые знакомится с десятичной системой счисления. Она ему все же ближе, чем нам — двенадцатиричная. Но ведь зато ему только семь лет, и его небольшой житейский опыт, предшествующий школьному обучению, не перекрывает тех трудностей, которые ему приходится преодолевать.
Итак, мы считаем более целесообразным начать работу с внетабличного сложения и вычитания.
Не считая нужным излагать подробности работы над внетабличным сложением и вычитанием, поскольку этот вопрос достаточно хорошо изложен в нашей методической литературе, мы остановимся только на не-которых существенных моментах, представляющих практический интерес.
Как правило, учащихся не затрудняет внетабличное сложение. Несколько хуже обстоит дело с вычитанием. Однако и при сложении встречаются характерные ошибки, которые необходимо вовремя заметить, а еще лучше предотвратить. Изучая тетради учеников 1 «б» класса школы № 210, мы заметили следующие ошибки, которые отнюдь не являются случайными: 11 + 9 = 19, 14 + 6 = 16, 12 + 8= 18, 3 + 17 = 13, 7 + 11 = 17.
В чем причина этих ошибок? Учитель недостаточно подчеркивает, что при сложении следует относить единицы к единицам. Все внимание детей он направляет на разложение двузначного числа на его разрядные слагаемые, а сложение единиц с единицами упускается при этом из виду. Слагаемые 11 и 9 ученик заменяет числами 10 и 9 и получает в результате не 20, а 19, или при сложении чисел 14 и 6 не 20, а 16.
Среди приведенных ошибок наиболее характерными являются последние, когда надо было к однозначному прибавить двузначное, а не наоборот. В-этих случаях надо научить детей переставлять слагаемые. Если этого не сделать, то однозначное слагаемое окажется после разложения двузначного в непосредственной близости к его десятку. В самом деле, 3 + 17 = 3 + (10 + 7) = 3 + 10 + 7. Ученик довольствуется тем, что выполняет первое сложение и получает в результате 13.
Чтобы предотвратить такие ошибки, не следует торопиться переходить к отвлеченным числам. Пусть подольше выполняют действие на палочках. Налево надо положить 3 палочки, направо — пучок-десяток и 7 палочек. Затем фактически осуществляется перестановка слагаемых, то есть 3 палочки переносятся направо. Теперь перед учеником слева направо лежат пучок-десяток, 7 палочек и 3 палочки. Ясно, что надо сложить 7 палочек и 3 палочки, не трогая десятка. Получив новый десяток от сложения семи и трех, ученик связывает их в пучок и называет сумму: 2 десятка, или 20.
Другая, весьма распространенная ошибка связана с вычитанием двузначного числа из двузначного. Ученик отнимает 12 от 18 и получает 16. Устные вычисления следует начинать с высших разрядов. В данном случае надо от 18 отнять 10, получится 8; затем от 8 отнять 2, получится 6. Значит, 18 — 12 = 6. Вместо этого дети начинают вычитание с единиц и забывают вычесть десяток. Получается 16 вместо шести.
В тех же примерах бывает и другая ошибка, вызванная той же самой причиной. После вычитания 2 из 8 ученик переходит к второй части данного действия — вычитает 10 из 10 и думает, забыв о шестерке, что получился нуль.
Чтобы ученик понял всю нелепость своей ошибки, полезно заменить отвлеченные числа конкретными, заменить пример задачей:
«В коробке было 18 карандашей. Из них 12 карандашей учитель выдал учащимся. Сколько карандашей осталось в коробке — неужели 16?»
Чтобы предотвратить возможность ошибок при вычитании двузначного из двузначного, следует, во-первых, подольше пользоваться палочками. Во-вторых, при переключении детей в речевой план не позволять им разлагать на разрядные слагаемые уменьшаемое, в данном случае число 18. Достаточно разложить вычитаемое 12. В-третьих, вычитание надо начинать с высшего разряда, а именно: от 18 надо отнять 10, получится 8; от 8 отнять 2, получится 6; значит, от 18 отнять 12, получится 6.
В-четвертых, надо сопоставлять такие примеры, как 18 — 2 и 18 — 12, 19 — 4 и 19 — 14. Сопоставление этого рода полезно проводить и на задачах.
Изучая табличное сложение, ученик должен усвоить не только вычислительный прием, но по возможности запомнить наизусть каждую из 36 сумм в дополнение к тем 45, которые уже пройдены при изучении первого десятка.
Переход через десяток тем легче, чем ближе первое слагаемое к числу 10. Легче всего прибавлять однозначные числа к 9, затем к 8, к 7 и т. д. Последний, наиболее трудный табличный случай: 2 + 9. Впрочем, когда второе слагаемое больше первого, надо научить детей пользоваться перестановкой слагаемых. Таким образом, работа сократится почти наполовину. Прибавляя шестерку (первый случай 5 + 6), ученик уже прибегает к перестановке слагаемых, поскольку сумму чисел 6 + 5 он перед этим уже усвоил. Впрочем, прибавлять к числу 5 однозначные числа начиная с 6 (мы имеем в виду сложение с переходом через десяток) вообще легко, поскольку вычисление суммы 5 + 5 учащихся не может затруднить.
Прием сложения с переходом через десяток удобнее всего пояснять на пособии, которое можно назвать «таблицей с кружкам и».
Кусок картона прямоугольной формы разделен продольной чертой на две равные части. К картону пришиты обыкновенные платяные крючки, по 10 штук с каждой стороны. На крючки можно вешать двухцветные кружки. Отверстие должно быть не в центре кружка, а на некотором расстоянии от центра, чтобы кружок действительно висел, то есть занимал устойчивое положение.
На нашем рисунке представлено сложение чисел 7 и 5. Пользуясь пособием, приходится волей-неволей разложить второе слагаемое на такие две части, из которых одна (число 3) является дополнением первого слагаемого (числа 7) до десяти.
Табличное сложение и вычитание проходят раздельно, так как иначе мы имели бы одну и ту же разность для каждого ряда примеров на вычитания. К первой группе пришлось бы отнести примеры: 11—2, 12—3, 13—4 и т. д., у которых разность равна 9; к второй группе: 11—3, 12—4, 13—5 и т. д., когда разность равна 8 и т. д. Подметив такую «закономерность», дети записывают ответ, не производя вычислений. Поэтому вычитание следует располагать по постоянному уменьшаемому, то есть вычитать все однозначные числа сначала из 11, потом из 12, из 13 и т. д.
Прием табличного вычитания поясняется на той же таблице с кружками, которой мы пользовались при сложении. Разница только в том, что при вычитании приходится применять кружки одного цвета.
Некоторые учителя вносят нерациональный прием табличного вычитания, который затем переносится и на числа первой сотни.
Ученица I класса школы № 171 Элеонора П. систематически получала двойки за ошибки в примерах на вычитание. Детям был показан такой прием: 12 —5= (10 + 2)—5= (10 —5) +2 = 5 + 2 = 7. Итак, прежде чем отнимать 5 от 12, рекомендовалось откинуть единицы уменьшаемого, вычитать все число из десяти, а затем прибавлять откинутые единицы. Элеонора поняла дело так, что эти откинутые единицы вообще не нужны. Поэтому у нее и получались такие странные ответы: 12 — 5 = 5, 14 — 6 = 4, 15 — 7 = 3 и т. д.
Итак, надо, во-первых, сообщать детям рациональные приемы сложения и вычитания и, во-вторых, пользоваться «таблицей с кружками», на которой удобно пояснять эти приемы. Значение этого пособия состоит в том, что оно помогает увидеть десятичный состав суммы, а при вычитании — десятичный состав уменьшаемого. Вот как должны дети решать примеры на табличное сложение и вычитание.
7+5=? 14—6=?
7+3=10 10+2=12
14—4=10 10—2=8
7+5=12 14—6=8
Помимо основных, полезно натолкнуть детей на некоторые особые вычислительные приемы, развивающие гибкость мышления и облегчающие получение результата. Заметим, что лучше других запоминаются суммы равных слагаемых. При неравных слагаемых в силу переместительного свойства мы имеем наряду с данным прямым случаем обратный, конкурирующий с прямым. Эти случаи запоминаются с большим трудом. Надо сказать, что некоторые случаи сложения, как 8 + 9, 9 + 7, 9 + 8 и 7 +9, вообще, даже у взрослых, не вполне автоматизируются. Во всяком случае они не переходят в речедвигательный навык, как это наблюдается в отношении табличного умножения. Фраза «семью девять — шестьдесят три» произносится без участия мышления, тогда как при сложении чисел 7 и 9 мы все же в какой-то мере вычисляем. И вот в этих трудных случаях можно опираться на соседние суммы равных слагаемых: 7 + 7= 14, а потому 7 + 8 = 15; 8 + 8=16, а потому 8 + 9=17. Самый трудный случай, 7 + 9 = 16, можно заменить сложением двух восьмерок, если от девяти одну единицу отнять, а к семи прибавить.
Следует обратить внимание на интересную ошибку, которую отмечает А. М. Леушина. Рассмотрим ряд ошибочно решенных примеров: 12 — 6 = 14, 13 — 5 = 12, 17 — 8 = 11 и т. д. Причина всех этих ошибок состоит в следующем. Уже при изучении первого десятка дети научились пользоваться приемом перестановки слагаемых. Этот прием они переносят на вычитание. В примере 12 —6 нельзя отнять 6 от 2; вместо этого ученик отнимает 2 от 6, а так как десятка он при этом не затрагивал, то в результате у него и получается 14.
Общая причина ошибок, которые встречаются у детей при изучении табличного сложения и вычитания,— формальный, словесно-догматический характер преподавания. Все внимание детей при таком преподавании обращено на операции с цифрами. При отвлеченных числах ответ в примере 12 — 6 = 14 не кажется ученику странным. Чтобы он почувствовал нелепость полученного результата, достаточно заменить пример задачей: «Из коробки, в которой было 12 карандашей, взяли 6 карандашей. Сколько карандашей осталось в коробке — неужели 14, то есть больше, чем было вначале?»
Мы уже указывали на такой прием, помогающий осмыслить числа данные и искомое. При каждой ошибке необходимо вскрыть до конца ее несообразность, несоответствие между полученным результатом и действительностью. После этого надо вернуться к наглядному пособию и еще раз продемонстрировать забытый или неправильно понятый прием.
Удобство первого пособия состоит в том, что представленный на нем ряд из 10 кружков воспринимается безоговорочно как одно целое — это десяток как таковой. Сразу видно, что трех кружков не хватает именно до целого десятка. Остальные два кружка воспринимаются как выходящие за пределы первого десятка и как некоторая часть второго десятка, целостный образ которого обеспечен рядом точек справа.
Образ десятка на втором пособии, известном под названием «рамы Штеклина», менее выразителен, поскольку он представлен здесь не одной, а двумя группами кружков, по 5 кружков в каждой группе. Три кружка, которых не хватает до десяти при сложении 5 и 5, кажутся дополнением не к семи, а к двум. Два кружка в правой части таблицы воспринимаются как часть пяти — второй десяток в целом отходит на задний план.
Третье пособие, которое мы находим в стабильном учебнике, представляется нам наименее целесообразным. Десяток в его левой части можно видеть по-разному: и как две пятерки и как пять двоек — скорее последнее. Неясно также, к какому числу добавлены 3 черных кружка. В правой части не показаны ни точками, как в первом пособии, ни кружками, как во втором, элементы второго десятка. Непонятно, почему в таком случае остается столько пустого места в этой части пособия, почему она такая большая.
Итак, наилучшим с нашей точки зрения является первый вариант из тех трех пособий, которые мы сопоставили.
Приворот является магическим воздействием на человека помимо его воли. Принято различать два вида приворота – любовный и сексуальный. Чем же они отличаются между собой?
По данным статистики, наши соотечественницы ежегодно тратят баснословные суммы денег на экстрасенсов, гадалок. Воистину, вера в силу слова огромна. Но оправдана ли она?
Порча насылается на человека намеренно, при этом считается, что она действует на биоэнергетику жертвы. Наиболее уязвимыми являются дети, беременные и кормящие женщины.
Испокон веков люди пытались приворожить любимого человека и делали это с помощью магии. Существуют готовые рецепты приворотов, но надежнее обратиться к магу.
Достаточно ясные образы из сна производят неизгладимое впечатление на проснувшегося человека. Если через какое-то время события во сне воплощаются наяву, то люди убеждаются в том, что данный сон был вещим. Вещие сны отличаются от обычных тем, что они, за редким исключением, имеют прямое значение. Вещий сон всегда яркий, запоминающийся...
Существует стойкое убеждение, что сны про умерших людей не относятся к жанру ужасов, а, напротив, часто являются вещими снами. Так, например, стоит прислушиваться к словам покойников, потому что все они как правило являются прямыми и правдивыми, в отличие от иносказаний, которые произносят другие персонажи наших сновидений...
Если приснился какой-то плохой сон, то он запоминается почти всем и не выходит из головы длительное время. Часто человека пугает даже не столько само содержимое сновидения, а его последствия, ведь большинство из нас верит, что сны мы видим совсем не напрасно. Как выяснили ученые, плохой сон чаще всего снится человеку уже под самое утро...
Согласно Миллеру, сны, в которых снятся кошки – знак, предвещающий неудачу. Кроме случаев, когда кошку удается убить или прогнать. Если кошка нападает на сновидца, то это означает...
Как правило, змеи – это всегда что-то нехорошее, это предвестники будущих неприятностей. Если снятся змеи, которые активно шевелятся и извиваются, то говорят о том, что ...
Снятся деньги обычно к хлопотам, связанным с самыми разными сферами жизни людей. При этом надо обращать внимание, что за деньги снятся – медные, золотые или бумажные...
Сонник Миллера обещает, что если во сне паук плетет паутину, то в доме все будет спокойно и мирно, а если просто снятся пауки, то надо более внимательно отнестись к своей работе, и тогда...
При выборе имени для ребенка необходимо обращать внимание на сочетание выбранного имени и отчества. Предлагаем вам несколько практических советов и рекомендаций.
Хорошее сочетание имени и фамилии играет заметную роль для формирования комфортного существования и счастливой судьбы каждого из нас. Как же его добиться?
Еще недавно многие полагали, что брак по расчету - это архаический пережиток прошлого. Тем не менее, этот вид брака благополучно существует и в наши дни.
Очевидно, что уход за собой необходим любой девушке и женщине в любом возрасте. Но в чем он должен заключаться? С чего начать?
Представляем вам примерный список процедур по уходу за собой в домашних условиях, который вы можете взять за основу и переделать непосредственно под себя.
Та-а-а-к… Повеселилась вчера на дружеской вечеринке… а сегодня из зеркала смотрит на меня незнакомая тётя: убедительные круги под глазами, синева, а первые морщинки
просто кричат о моём биологическом возрасте всем окружающим. Выход один – маскироваться!
Нанесение косметических масок для кожи - одна из самых популярных и эффективных процедур, заметно улучшающая состояние кожных покровов и позволяющая насытить кожу лица необходимыми витаминами. Приготовление масок занимает буквально несколько минут!
Каждая женщина в состоянии выглядеть исключительно стильно, тратя на обновление своего гардероба вполне посильные суммы. И добиться этого совсем несложно – достаточно следовать нескольким простым правилам.
С давних времен и до наших дней люди верят в магическую силу камней, в то, что энергия камня сможет защитить от опасности, поможет человеку быть здоровым и счастливым.
Для выбора амулета не очень важно, соответствует ли минерал нужному знаку Зодиака его владельца. Тут дело совершенно в другом.
© Все права на статьи принадлежат авторам сайта, если не указано иное.
16 +