В настоящей статье автор излагает научные заслуги Монжа в области начертательной геометрии, той науки, которая составляет неотъемлемую общую основу образования каждого инженера, архитектора и художника.
Подчеркивая это, автор рассматривает научные труды и идеи Гаспара Монжа — гениального ученого-математика, инженера, общественного и политического деятеля, главным образом, с точки зрения специалиста в области теоретической и прикладной графики, а не специалиста-математика.
I. Состояние знаний о проекционных методах до Монжа
До Монжа строители, художники и ученые обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и все же только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки. Поэтому, прежде чем приступить к анализу его трудов, познакомимся предварительно, в самых кратких чертах, с историей развития этих знаний до Монжа.
Корни происхождения начертательной геометрии следует искать у культурных народов в глубокой древности; эта наука возникла из практических потребностей человека. Строительство храмов, дворцов, жилищ, земледелие, живопись уже в Древнем Египте побудили создавать элементарные приемы, может быть наивные с нашей точки зрения, без которых специалисты этого дела не могли обходиться. Древние папирусы, лапидарные рисунки на граните, сохранившаяся стенная живопись дают нам образцы пользования проекционными методами. До нас дошли планы городов, планы с фасадами зданий, планы поместий знатных персон и др.
Надо думать, что древние египтяне своей практикой закладывали первые кирпичи в будущее грандиозное строительство позднее сформировавшейся науки.
Рассмотрим некоторые примеры. План и фасад здания, довольно точные по масштабу, являются прообразом горизонтальной и вертикальной проекций объекта проектирования. Изображение дома с садом зажиточного египтянина или изображение дворца придворного выполнены так, что с планом отдельных частей (ворот, колонн и пр.) совмещается фасадный вид по образцу планов боярских угодий, встречаемых нами в древнерусских допетровских крепостных документах.
Что это такое, с точки зрения современного состояния науки начертательной геометрии?
Это — пример на приложение способа перемены плоскостей проекций. Многочисленные «плоские» рисунки египетских художников представляют собою декоративную орнаментировку стен и являются ортогональной вертикальной проекцией фигур, взятых в наиболее характерном для их вида положении (так сказать, главный вид, по нынешним ОСТ). Для изображения глубин египтяне размещают такие плоские проекции, без изменения масштаба высоты и ширины, одна за другой, с некоторым небольшим сдвигом в сторону. Так изображаются шеренги всадников, воинов, рабов в процессиях и т. п. Этим заложена, с современной нам точки зрения, «научная база» фронтальной аксонометрии с аксонометрическими осями, расположенными так, что обе горизонтальные оси составляют продолжение одна другой. Это показывает, что при выполнении изображений египтяне бессознательно удаляли точку зрения в бесконечность, создавая параллельные проекции. Только впоследствии, много веков спустя, начали изображать глубину со сдвигом в сторону и вверх, чтобы показать, например, море человеческих голов, верх предмета и т. п.
Около 1000 лет до н. э. был построен изумительный по архитектуре храм Соломона в Иерусалиме. Если верить библейскому преданию, то при построении храма были употреблены обтесанные камни: «ни молота, ни тесла, ни всякого другого железного орудия не было слышно в храме при строении его». Иначе говоря, сложной формы камни обтесывались заблаговременно. Для этого требовался рисунок (проект) с показанием формы и размеров. Вопрос об обтеске строительных камней и разрезке в дальнейшем будет играть немалую роль в истории создания начертательной геометрии.
У античных народов и народов Древнего Востока мы находим первые шаги к научному обоснованию перспективы, а также высокохудожественные образцы рельефной перспективы. «Оптика» Евклида (около 300 лет до н. э.) содержит 12 аксиом и 61 теорему об условиях «видения» Предметов. В первой аксиоме Евклид утверждает, что «лучи зрения, исходящие из глаза, идут по прямой линии, каково бы ни было расстояние». Принятие этого ошибочного положения, однако, не изменит верных результатов, получаемых из нынешней теории геометрической оптики при построении изображений как на сетчатой оболочке в глазу человека, так и на мольберте художника, т. е. на плоскости проекций. В своих аксиомах Евклид довольно близко стоит на пути к обоснованию перспективного изображения как конической (центральной) проекции, однако определенно им это еще не высказано. Древнеримский архитектор Витрувий в 11 г. до н. э. посвятил императору Августу свое сочинение «Десять книг об архитектуре», в котором излагает способ изображения сооружения в архитектурном проекте следующими словами: «Виды расположения следующие: ихонография, ортография и сценография. Ихонография есть надлежащее и последовательное применение циркуля и линейки для получения очертания плана на поверхности земли. Ортография есть вертикальное изображение фасада и картина внешнего вида будущего здания, сделанная с надлежащим соблюдением его пропорций. Равным образом сценография есть рисунок фасада и уходящих вглубь сторон путем сведения всех линий к центру, намеченному циркулем. Все это начинается с размышления и изображения. Размышление есть старательность, полная усердия, трудолюбия и бдительности, ведущая к желанному исполнению предприятия, а изображение есть разрешение темных вопросов и разумное обоснование нового предмета, открытого живой сообразительностью. Таковы определения видов изображения».
Из этих слов мы видим, что Витрувий говорит о плане и фасаде как об обязательных составных частях проекта здания. Более того, он говорит о перспективном изображении, при котором все уходящие вглубь горизонтальные линии имеют точку схода, т. е. о некоторых правилах практического построения перспективы. Теоретического доказательства не излагается, да и вряд ли оно было тогда известно, так как перспектива не закончила еще в своем развитии «наблюдательного» периода. Примеры такого рода перспективных изображений можно видеть на современных Витрувию образцах стенной росписи домов Помпеи, близкой к архитектурным мотивам. Они представляют собою «фронтальную» перспективу, не лишенную ошибок.
Не останавливаясь на более раннем, чем евклидовская «Оптика», сочинении Элеодора Ларисского («Оптика») и еще более раннем сочинении Птоломея, касающихся наглядной перспективы, отметим, что Средневековье не оставило нам документов, свидетельствующих о заметном развитии проекционных методов. В Средние века стереотомия (обтеска камней) являлась цеховой тайной.
Эпоха Возрождения связана с оживлением научной мысли в этой области. Ряд блестящих умов этой, эпохи — Пьетро де-ля-Франческо дель-Борго, Лоренцо Гиберти, Леон Баттиста Альберти, Леонардо да-Винчи, Виатор, Альбрехт Дюрер, Микель Анджело, Виньоль и другие славные имена — заложили прочные основы в теории перспективы.
Флорентийский скульптор Гиберти (1387—1475) в «III комментарии» разбирает оптику, т. е. перспективу, анатомию и пропорции. Автор стремится найти объективные законы перспективного построения. Итальянский живописец Пьетро дель-Борго (1406—1492) в сочинении о перспективе в живописи (1458) впервые дает научное определение перспективы как конической проекции предмета, получаемой «пересечением конуса видимости с картинной плоскостью». Повидимому ему, как и Перуджи, были известны сведения о точках расстояния, а также о точках схода линий, перпендикулярных картине. Итальянский многосторонний ученый и художник Альберти (1404—1472) дает способ практического построения перспективы посредством сетки. В «Трактате о живописи» великого Леонардо да-Винчи (1452— 1517) в труде, как предполагают, компилятивном, содержатся заметки о различных правилах построений перспективных изображений, как-то: масштаб глубины, наилучший угол зрения, воздушная перспектива, построение купольной перспективы, монокулярное и бинокулярное зрение, горизонт картины и др. Виатор (1505) дает строгое построение перспективы, пользуясь зеркально расположенным планом, центральной точкой (ошибочно называемой им точкой зрения) и точками расстояния как точками схода линий, параллельных диагоналям основного квадрата. Альбрехт Дюрер (1471 —1528) излагает весьма остроумный способ построения перспективного изображения по заданным двум ортогональным проекциям: вертикальной и горизонтальной. Этот способ не потерял своего значения и до настоящего времени. Виньоль (1507—1573) в сочинении «Два правила перспективы» (Рим, 1583) пользуется не только точками схода линий, параллельных горизонтальным диагоналям квадрата, но и параллельных диагоналям боковых граней куба, т. е. несколько расширяет сведения о точках схода перспектив параллельных линий.
Картины художников эпохи Возрождения отличаются строгой точностью соблюдения правил перспективы, и если у знаменитых Микель Анджело и Рафаэля Санцио наблюдаются иногда отступления от этих правил (несколько точек зрения), то это делается ими сознательно, дабы выделить отдельные части картины для самостоятельного рассматривания.
Прогресс научных знаний в области перспективы, завоеванных человечеством в эпоху Возрождения, касался основ теории проекционных методов. Эта теория развивалась, преимущественно исходя из практических требований живописи. Стремление дать верное изображение принуждало живописца исследовать геометрические законы живописи; отсюда и возникло учение о перспективе. В первой четверти XVI столетия это учение получило достаточное научное развитие, обеспечивая основные запросы практики. Перспектива развивалась замкнуто от других проекционных методов. И если Альбрехт Дюрер дал способ, основанный на использовании ортогональных проекций, то все иге его способ не устанавливал научного единства связи между этими проекционными методами.
Наконец, несмотря на геометрическую основу теории линейной перспективы, данный метод не являлся отделом математики, а относился к области графики, так как он вытекал из совокупности условий: объект проектирования, глаз, плоскость проекций. К тому времени теория перспективы как научный метод основывалась на следующих положениях, сохранившихся и до настоящего времени: а) монокулярное ть зрения, заключающаяся в том, что построение перспективного изображения на картине и рассмотрение этого изображения делается в предположении одноглазого зрения; б) постоянство точки зрения, состоящее в том, что глаз предполагается неподвижным относительно предмета и картинной плоскости как при построении изображения, так и при рассматривании его; в) единство момента времени (застывшая картина положения объекта в данный физический момент), т. е. на картине не могут быть изображены несколько положений, соответствующих разным моментам времени.
Развитие метода ортогональных проекций шло своим собственным путем, исходя преимущественно из потребностей строительного дела. Как указано выше, Дюрер для надобностей живописи использовал ортогональные проекции в качестве вспомогательного средства. Его мощный ум решил задачу на построение теней от куба таким же способом, как то делается и в настоящее время. Однако при решении этой задачи, как и других рассмотренных им (проекции винтовых линий, конических сечений и др.), он не дал общей идеи проектирования.
Мы уже указывали, что вопрос о разрезке строительных камней сыграл большую роль в развитии начертательной геометрии. Проектирование формы камней и построение необходимых чертежей требовало определенных точных знаний. У самого Дюрера на его известной гравюре «Меланхолия» изображен на видном месте большой обтесанный камень замысловатой формы и женская фигура с циркулем в руках.
Филиберт Делорм в своем «Курсе архитектуры» (1576) впервые дает правила разрезки камней. В сочинении Деранда «Архитектура сводов или искусство начертания и разрезки сводов» излагаются вопросы о пересечении поверхностей, об определении истинного вида фигур, о перемещениях и развертках. О разрезке камней говорится также в сочинениях Жусса (1642), Дешаля (1672), Франсуа Деранда в его труде «Архитектура сводов во Франции» (1643), где даются практические правила и шаблоны (без доказательств).
В XVII—XVIII столетиях предшественниками Монжа являются французский математик и архитектор Дезарг из Лиона (1593—1662), Делярю (1728) и французский военный инженер Фрезье (1682—1773). Дезарг оставил нам сочинения: «Курс перспективы», «О конических сечениях», «Общий способ практического построения перспективы», изданный его даровитым учеником Боссом. Достаточно было бы ограничиться этим перечнем и вспомнить о духовной мощи автора, чтобы понять, какой вклад в науку мог сделать Дезарг. Он дал общий способ определения вида поверхностей сводов, правда, трудно усваиваемый практиками, делавшими вследствие этого немало ошибок. Он высказал мысль о родственности различного рода проекционных методов и, наконец, дал свою теорию построения перспективных изображений (способ большой картины).
Точными чертежами Деларю пользовались позднее даже в Политехнической школе в Париже.
Попутно упомянем, что Гвидо Убальди (1545—1607) еще в 1600 г. опубликовал способ построения перспективы, близкий к современному, известному под названием метода архитекторов. Назовем также Баттаца, который дал способ, называемый способом зеркальных фигур (1644) для перспективных изображений.
Французский военный инженер Фрезье (1682—1773) представляет собою самого крупного автора из предшественников Монжа. Его двухтомное сочинение «Теория и практика разрезки камня и дерева или руководство по стереотомии», вышедшее в Страсбурге в 1738—1739 гг., излагает теорию (1-й том) и практику дела (2-й том). Он пользуется ортогональными проекциями, уподобляя процесс проектирования точки падающей чернильной капле. Проектирование ведется на две плоскости: горизонтальную (ихонография) и вертикальную (ортография). Кривые поверхности и особенно «косые поверхности» он рассматривает как образованные движением производящих. Построение линии пересечения поверхностей он ведет посредством вспомогательных секущих параллельных плоскостей. Затем излагаются правила развертки поверхностей многогранников и кривых поверхностей.
В своих работах Фрезье подвел итог работам своих предшественников как в области теории, так и в отношении практических приемов.
Другие виды проекционных методов, как-то: аксонометрия и проекции с числовыми отметками, занимающие промежуточное место между перспективой и ортогональными проекциями, развивались попутно как в живописи, так и в инженерном деле. «Вольная», свободная перспектива облегчала построение наглядных изображений. Она нашла себе богатое приложение в «миниатюрах», иллюстрирующих древние рукописные книги, при изображении планов городов, монастырей, земельных угодий и пр.
Таков, вкратце, очерченный итог знаний о проекционных методах, полученный в наследство поколением Монжа. Итог немалый и не безызвестный Монжу.
В чем же заключаются заслуги его как творца начертательной геометрии? Прежде, чем перейти к изложению этого вопроса, отметим еще раз то, что показывает изложенная нами предистория развития этой науки, а именно, что она вытекала из узких практических потребностей, что развитие это шло отдельными ветвями, что задачами всех этих ответвлений являлось получение изображения (т. е. графические цели), что адептами этой научной области были практики-инженеры, архитекторы и живописцы и что сам гениальный Монж, будучи великим математиком и инженером, рассматривал свою начертательную геометрию не как математику, а как область графики, для которой математика служила подсобным средством. Изречение Монжа «чертеж — язык техника» говорит о прикладном значении, которое Монж придавал той науке, создателем которой сам и явился.
Изложенная предистория развития проекционных методов относилась к тем странам, сведениями о которых, вероятнее всего, располагал Монж. Мы поэтому не упоминали о том, как обстояло дело в нашей стране. Однако это не значит, что в Древней Руси и в Московском государстве не было ничего примечательного в этой области. Наоборот, изучение памятников Древней Руси показывает, что проекционные методы были самобытны и что по мере накопления опыта они постепенно совершенствовались от наивных примитивов до форм, приближающихся к строго научным в современном нам смысле слова. К таким памятникам относятся: монументальная живопись, фрески, миниатюры рукописных книг. Фрески Новгородской школы XIV—XV столетий, изумительные по своей художественности картины Рублева, Дионисия и др. содержат композиции архитектурного характера, близкие к «вольной» фронтальной перспективе или же изометрии, но они являются только приближением к точным проекциям. Единства — проектирования, момента времени и точки зрения — не соблюдались.
Московская старина XVI века богата памятниками графики, в особенности миниатюрами. В эту эпоху перед мастерами графики практика выдвинула трудные задачи композиции, и мы наблюдаем продолжающееся совершенствование проекционных методов. Книгопечатание этому способствовало.
Окончательное закрепощение крестьян, жалованье боярам поместий вызвало необходимость актов на закрепление имений. Создавались планы угодий, монастырских владений и др., основанные на землемерии. Сильная централизация административного управления нуждалась в географических картах и планах городов. Точные чертежи требовали определенного уровня технической графики. Упомянем о дошедших до нас планах городов: Пскова, «Годунов» чертеж Москвы 1619 года, план Тихвинского монастыря, «чертежная книга городов и земель Сибири» (1701 г.), — атлас, составленный Ремезовым по указу Петра I.
В перечисленных памятниках проекционные методы еще более совершенствовались, применяя способы изображения во фронтальной аксонометрии и метода перемены плоскостей проекций для показания плана и фасада. По ним можно судить даже о технических конструкциях бревенчатых срубов зданий.
В XVIII веке искусство проектирования и техника выполнения конструктивных чертежей достигла высокого совершенства. Чертежи изобретателя-самоучки И. П. Кулибина представляют совершенно правильные с точки зрения начертательной геометрии ортогональные проекции конструкции, млогочисленных его изобретений, хотя к этому времени наука эта еще не была опубликована Монжем.
Все это свидетельствует о том, что ко времени опубликования Монжем его труда у нас уже был накоплен большой запас знаний, так или иначе связанных с начертательной геометрией, и освоение новой науки не встретило затруднений, так как почва уже была подготовлена собственными трудами русских ученых и практиков.
II. Монж - творец новой науки
Переходим к рассмотрению классического творения Монжа: «Ceometrie descriptive» («Начертательная геометрия»). Книгой этой Монж свел в стройную научную систему весь разрозненный многообразный материал. Новая его научная система привела к полной возможности выполнять на плоской поверхности листа чертежной бумаги посредством планиметрических построений решение конструктивных задач стереометрии евклидовскими чертежными инструментами: циркулем и линейкой.
Если бы мы пожелали задачу в пространстве трех измерении решать непосредственно в таком пространстве, то мы, прежде всего, встретились бы с непреодолимым препятствием в отношении чертежных инструментов. «Начала» Евклида рассматривают такие построения, считая возможным каким-то непонятным способом строить в пространстве трех измерений плоскость любого положения, поверхность цилиндра и конуса вращения и шаровую поверхность. Однако Евклид нигде не дает указаний, какими же «чертежными» инструментами возможно осуществить эти элементарные построения, к которым он сводит все другие сложные построения. Если же обратиться к его циркулю и линейке, то окажется, что мы лишены возможности сделать даже более элементарные построения, как-то фиксировать в пространстве точку, провести через нее прямую линию или плоскость.
Гаспар Монж свел невозможные фактически «чертежные» построения в пространстве трех измерений к действиям над двумя ортогональными проекциями какого-либо тела, получаемыми на двух, неизменно связанных между собою, взаимно перпендикулярных координатных плоскостях, служащих плоскостями проекций. Неизменная связь достигается неизменной постоянной по положению в пространстве линией пересечения этих плоскостей проекций. Таким образом, в начертательной геометрии Монжа впервые появляется ось прекций, которая до него не была известна. Для того же, чтобы весь чертеж, состоящий из двух проекций, располагался на одном плоском листе бумаги, Монж, посредством вращения плоскостей проекций вокруг их линии пересечения, развертывает эти плоскости, совмещая их в одну плоскость. Однако названия «оси проекции» он не упоминает на протяжении всего своего курса, называя ее всегда линией пересечения плоскостей проекций. При изложении курса перспективы он вводит термин «Iigne de terre», не встречаемый в «Geometric descriptive».
Отметим при этом, что плоский чертеж — не выдумка Монжа, а принудительное естественное условие. Стереометрические задачи в пространстве трех измерений можно решать только умозрительно. Практически же мы вынуждены прибегать к поверхности двух измерений. Архитекторы древности и средневековья делали это на земле, на песке и на самом строительном материале, на полу, на стенах и т. п.
Монж, анализируя различные практические приемы, применяемые в строительном деле, отделил элементы теории и разработал стройную логическую научную систему построения в проекциях различных основных задач на прямую линию, плоскость и др. Он говорил: «Кто совсем свободно знает прямую и плоскость, тот не встретит затруднений в начертательной геометрии».
На основании разработанной Монжем общей геометрической теории все вопросы прикладного характера находили решение, и даже такие, которые до этого считались неразрешимыми. Оказалось возможным не прибегать к изготовлению моделей, которые до того времени являлись неотъемлемой составной частью строительного проекта. Сам Монж в качестве ученика испытал на себе в Мезьерской школе эту практику «гипсового училища», как иронически называли вспомогательное отделение школы.
М. Шаль, рассматривая прикладную сторону, говорит: «Понятно, что. .. начертательная геометрия должна была бы существовать во все времена. И в самом деле, мастера каменного дела и плотники всегда определяли и набрасывали рисунки на плоскости — формы тех тел о трех измерениях, которые приходилось им строить. Было даже несколько руководств, и хороших..., тем не менее приурочить практические вопросы к необходимому числу отвлеченных и элементарных действий никому не приходило в голову, а в особенности собрать их все в одно руководство с самостоятельным заглавием, с тем, чтобы придать им характер учения, независимо от практических навыков, из ряда которых они достаточно уже вышли. Это задумал и выполнил с редким талантом Монж».
Так оценил новую науку французский математик М. Шаль в своей вступительной речи к курсу высшей геометрии, читанной в Парижском факультете наук 23 декабря 1846 г. Шаль считает, что Монж и Карно «оживили во Франции дух геометрического метода и вдохновили молодых математиков, которые вскоре пошли по этому пути».
III. О реформе технического образования во времена буржуазной Французской революции и о роли начертательной геометрии в этом образовании
Ознакомимся несколько подробнее с книгой Монжа «Geometrie descriptive». У нас в руках третье парижское издание 1811 г. с дополнениями М. Гашетта. Тексту самого курса предпосланы интересные предисловия, заключающие в себе программу начертательной геометрии, изложенную в виде 33 отдельных задач для воспитанников, несколько слав от издателя и предисловие самого Монжа.
По его пояснениям, программа не охватывает всех вопросов начертательной геометрии, а ограничивается только учебным объемом Политехнической школы. Посмотрим, чему же равняется этот «урезанный» объем. В первые десятилетия XIX столетия математические предметы в этой школе занимали первое место по своему значению, и среди них начертательной геометрии и черчению отводилось 153+ 175=328 двойных лекций, что равнялось половине всего учебного времени. Якоби говорит, что «число представляемых учениками ежегодно чертежей было особенно большим, и тягость выполнения их осложнялась трудностью пространственных представлений». Все это можно было осилить только при пояснениях самого Монжа на особых примерах.
Кроме теории, в программу входили крупными разделами прикладные области, а именно: стереотомия, обнимающая собою разрезку камней и плотничье дело, тени, перспектива и тушовка.
Прикладная часть программы охватывала также общую теорию машин и машины, применяемые в строительном деле.
Издатель в своем предисловии называет блестящие имена профессоров Нормальной школы, в которой впервые с начертательной геометрии был снят покров секретности. В ней преподавали математику гениальные Лагранж и Лаплас, начертательную геометрию — сам Монж, физику — творец научной кристаллографии Гаюи, химию — знаменитый Бертолле, географию — известный географ Бюаш и ориенталист Вольней, литературу и грамматику — критик академик Лагарп, писатель Бернарден-де-Сен-Пьер, Сикар и др. Лакруа и Гашетт были адъюнкт-профессорами по начертательной геометрии. Началось перемещение центра тяжести науки из Академии в высшую школу.
Наиболее интересно предисловие самого автора. В нем Монж краткими словами излагает мотивы, по которым начертательная геометрия должна впредь стать одной из основных учебных дисциплин. Он ставит общий вопрос о реформе народного образования, вытекающий из отсталого положения французской промышленности и зависимости Франции от иностранной индустрии. По его мнению, необходимо усилить внедрение точных наук, знание машин и точных инструментов и привить навыки внесения точности в работу.
Прежде всего он рекомендует приучить пользоваться методами начертательной геометрии, которая преследует две главные цели. Первая цель — создать язык техника, необходимый ему для творческих проектов, по которым легко можно было бы и осуществлять их на деле; иначе говоря — научить на плоском листе чертежа изображать трехмерные формы. Вторая цель начертательной геометрии — это уменье оперировать теорией: «... это средство искать истину; она дает бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному», т. е. искомому, добавим мы; «... она пригодна не только для того, чтобы развивать интеллектуальные способности великого народа..., но она необходима для всех рабочих, цель которых придавать телам определенные формы; и именно, главным образом потому, что методы этого искусства до сих пор были мало распространены или даже совсем не пользовались вниманием, вследствие чего развитие французской промышленности шло так медленно».
Особенное значение придает Монж практическим графическим занятиям учеников с циркулем и линейкой в руках.
Французская революция произвела переворот и в деле постановки преподавания в технической школе. В «Политехнической школе» наибольшим влиянием пользовался Монж. Он создал там ту систему преподавания геометрии, которая и теперь еще существует в высших технических школах и подобных институтах; сюда относятся, прежде всего, обширные курсы начертательной и аналитической геометрии.
Существенным новшеством по сравнению с прежней постановкой преподавания является то, что теперь преуспевают не только немногие, особенно интересующиеся слушатели, но благодаря целесообразной организации большое число студентов одновременно плодотворно выполняют каждый свою работу.
На современников Монжа особенно сильное впечатление произвели его первые практические занятия, при которых до 70 человек одновременно работали над своими чертежными досками.
Основной курс «Geometrie descriptive» посвящен теории предмета и разделен на пять глав:
а) Цель и метод начертательной геометрии. Элементарные задачи на прямую линию и плоскость; б) касательные плоскости и нормали к кривым поверхностям; в) пересечения кривых поверхностей; г) приложения этого способа к решению различных задач; д) кривизна кривых линий и поверхностей.
Эта основная часть курса трактует только об ортогональных проекциях. Вот почему и в настоящее время этот отдел начертательной геометрии носит наименование «метода Монжа».
Отметим также те новые темы, которые впервые затронуты Монжем в его основном труде, а именно:
а) Поверхности с ребром возврата.
б) Способ вспомогательных секущих шаровых сфер для построения точек линии пересечения поверхностей вращения.
в) Поверхности одинакового ската.
г) Сферическая кривизна и многие другие вопросы из его «Приложения анализа к геометрии». (Париж, 1809).
д) Использование гиперболоида для решения задач с поверхностями второго порядка.
е) Линии наибольшего ската на геодезической поверхности.
ж) Некоторые вопросы теории проекций с числовыми отметками при проектировании крепостей.
Нельзя пройти мимо изящных способов решения некоторых задач. Например, задачу об определении угла между плоскостями Монж выполняет всего несколькими линиями, чем достигает большой практической точности и чего нельзя сказать о громоздком способе, встречаемом в теперешних основных руководствах и сводящем к нулю точность построений этой важной задачи прикладного характера.
Такие явления отчасти можно объяснить незнакомством наших педагогов с трудом Монжа из-за отсутствия русского перевода.
Методику изложения этого курса можно охарактеризовать как сочинение, в котором автор не няньчится с читателем, считая, что последний должен обладать развитым пространственным воображением и пространственными представлениями. Свои мысли он не всегда сопровождает чертежом; иногда же дает чертеж без описания последовательных построений, представляя читателю самостоятельно разбираться в этом. Курс Монжа для начинающих не легок. Он не разделяет своего курса на искусственные главы в погоне за элементарностью. Например, он трактует о поверхностях, объединяя их общей мыслью.
Характерна следующая методика изложения. Монж иллюстрирует свою мысль на простом конструктивном примере,
однако все его рассуждения носят общий характер и могут быть приложены к любому общему случаю.
Методы вращения и перемены плоскости проекций ему известны, но он оперирует с ними, не вводя читателя предварительно в ознакомление с элементами этих методов.
М. Шаль отмечает всеобщность и простоту графических приемов Монжа, годных и для простого рабочего и для инженера.
«До этого применяли разнообразные приемы, а если пользовались проекциями, то неодинаково: плоскости проекций были различны, и чертеж не поддавался такому быстрому и верному пониманию, как эпюры Монжа. Начертательная геометрия упростила графические действия, необходимые строителям; она облегчила их изучение, сделала их общедоступными, тогда как ученые работы Деларю, Фрезье и др., которым такого первоначального обоснования недоставало, были доступны только геометрам и инженерам».
Построение разверток поверхностей дает возможность легко изготовлять модели. Поэтому Монж сохранил их в своем преподавании, но уже с целью проверки результатов графических построений.
IV. Распространение начертательной геометрии Монжа в других странах Западной Европы
Вскоре после опубликования новой науки Монжа, она начала быстро распространяться и становиться достоянием высшей технической школы других стран: в Германии — Берлинской строительной академии (1799) и технической школы (1821), в Карлсруэ (1825), в Австрии — Политехнических школ Праги (1806) и Вены (1815) и в других местах.
Форма, в которую Монж облек содержание начертательной геометрии, представляет такие преимущества, что его последователи не внесли ничего существенного до средины XIX столетия. Во всех государствах преподавание велось по лекциям Монжа. В более позднее время научное изложение начертательной геометрии делается на основе проективной геометрии преимущественно немецкими математиками.
Если проследить за многочисленными сочинениями по начертательной геометрии, вышедшими после Монжа, то большинство из них следует скорее отнести к учебным курсам, чем к исследовательским оригинальным трудам.
Многие из них представляют собою перепевы на разные лады основных трудов Монжа, либо же углубление некоторых областей, недостаточно освещенных, либо же подведение научной базы под некоторые положения этой науки. (Период освоения). Следует отметить, что напечатано достаточное число курсов начертательной геометрии, в которых методическая сторона изложения достигла высокого совершенства и которые по своему научному уровню представляют весьма серьезные работы.
Обилие учебников объясняется тем, что новая наука сразу же завоевала прочное положение в технической школе как одна из основных дисциплин учебного плана, что не могло не вызвать большого спроса на учебную книгу.
Назовем главные моменты развития научной стороны этого дела после Монжа.
Бордони в Павии (1823) и Бриссон (1827) дают теорию освещенности поверхностей и вводят понятие о линиях равной освещенности. Оливье (1843—1844) вводит способ перемены Двух плоскостей проекций. Выдающийся шаг в развитии теории аксонометрии дал Польке, доказав свою теорему (1852), известную под наименованием «основного положения аксонометрии». Через 10 лет Шварц обобщил эту теорему и дал простое доказательство. Адемар (1838) в теории перспективы ввел понятие предметной плоскости, дал свой метод так называемой большой картины. Фидлер создал новый раздел начертательной геометрии — «циклографию» (1882) и изложил теорию начертательной геометрии в виде частного случая проективной зависимости между формой предмета и его изображением. Шаль дал теорему о коэффициенте косины поверхностей с прямолинейными производящими. Вейсбах доказал теорему о биссектрисах углов треугольника со сторонами, пропорциональными показателям искажений по аксонометрическим осям. Гаусс дал теорему о геометрической сумме квадратов векторов аксонометрических единиц.
Требования техники и искусства вызвали к жизни новые отделы начертательной геометрии или же углубили прежние. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести перечень их, а именно: рельефная, театральная, панорамная и плафонная перспективы, анаглифы и стереоскопические изображения, киноперспектива, проекции с числовыми отметками на службе проектирования дорожных и планировочных земляных работ, новая геометрия Е. С. Федорова и приложения ее к минералогии (кристаллографии) и к физико-химическому анализу.
Нельзя пройти мимо заблуждений в умах некоторых математиков, считающих, что Монж в своих сочинениях исчерпал начертательную геометрию как науку и что теперь она может служить только в качестве прикладной дисциплины.
Даже тот же Шаль в середине прошлого столетия высказал мысль о том, что во всех вопросах прикладного характера «Начертательная геометрия не более как инструмент, которым инженер пользуется для перевода своей мысли и выполнения на бумаге тех действий, которые намечает ему наука, т. е. геометрия общая. Начертательная геометрия исполняет, но не создает».
«Если она показывает глазам кривую пересечения двух поверхностей, то она вовсе не знакомит этим с ее свойствами; говоря математически, она не может даже указать, плоская ли это кривая (кривая пересечения двух поверхностей) или двоякой кривизны. У ней нет способов для таких исследований, составляющих исключительную область рациональной геометрии». Однако жизнь опровергла эти заблуждения. Появились работы, вскрывающие наиболее общие принципы, под которые можно подвести методы начертательной геометрии, рассматривая их с более высоких геометрических точек зрения, как то: 1) учение о методах линейных отображений, 2) представление о лучевом многообразии, 3) циклография, 4) отображение кривых и поверхностей, 5) начертательная геометрия в 4-мерном пространстве.
V. Распространение начертательной геометрии в России
Колыбелью новой науки в России являлся институт корпуса инженеров путей сообщения, основанный в 1809 г. С ним связано и дальнейшее культивирование начертательной геометрии в России. Виднейшие ученые в этой молодой научной области являлись сотрудниками института.
Начертательную геометрию в ней преподавали последователи самого Монжа — Фабр и Потье — ученик Монжа по Политехнической школе.
В 1816 г. Потье издал на французском языке руководство для слушателей, переведенное в том же году на русский язык репетитором института Я. А. Севастьяновым и напечатанное под названием «Основания начертательной геометрии для употребления воспитанниками Института корпуса инженеров путей сообщения».
В следующем, 1817, году Потье издал на французском языке «Приложение начертательной геометрии к черчению». Севастьянов, сменивший Потье, перевел и в 1818 г. напечатал и это сочинение. В том же году Потье и Севастьянов издали книгу «Начальные основания разрезки камней» на русском и французском языках. В 1821 г. Севастьянов выпустил свой курс начертательной геометрии. В 1830—1831 гг. были изданы еще две его книги, в которых изложены вопросы применения начертательной геометрии к рисованию, теория теней, линейная перспектива и оптические изображения и приложения начертательной геометрии к воздушной перспективе, к проекциям карт и к гномонике.
Начертательная геометрия быстро начала распространяться как учебный предмет. К 1821 г. она завоевала себе место в учебных планах трех школ: в Институте инженеров путей сообщения, Инженерном училище и в Горном кадетском корпусе. Затем она проникла в Артиллерийское училище, Морской кадетский корпус, Училище гражданских инженеров, Технологический институт, Учебный морской экипаж и в Университет.
Далее появились учебные курсы начертательной геометрии П. Галактионова (1841), академика И. Сомова (1862) и др. Профессор Института путей сообщения А. X. Редер оставил пять трудов, носящих более высокий научный уровень. В 1870 г. издан обширный труд руководителя курса начертательной геометрии того же института Н. И. Макарова. Особенно же надо отметить непревзойденные классические труды профессора института В. И. Курдюмова: «Курс начертательной геометрии, проекции ортогональные» (ч. I, 1895; ч. II, 1897); «Аксонометрия» (1893); «Проекции с числовыми отметками» (1894)
и др.
В 1913 году вышла в свет работа М. А. Дешевого, озаглавленная «Основания для объединения главнейших методов проектирования», в которой автор делает попытку дать общую теорию методов проектирования, основываясь на способе координат.
В 1917 г. Е. С. Федоров в труде «Новая начертательная геометрия» и во многих других своих сочинениях высказал новые взгляды на геометрические методы в приложении к кристаллографии. Большинство сочинений, изданных до Великой Октябрьской Социалистической революции, не явилось результатом исследовательских работ, а носило методический характер и служило в качестве учебников для высшей школы.
В России вопросы, касающиеся технического черчения, перед революцией не были объединены общей научной мыслью. Единства взглядов не существовало. Правила черчения предоставлялись инициативе и вкусам самих студентов. Согласования в преподавании графики в средней и высшей школе не было. Недооценивалось значение графики в образовании инженера. В учебном плане высшей школы графика занимала второстепенное место. Специальных научных кадров по этой дисциплине не было. Преподавательский состав вузов комплектовался кустарно. Крупные научные работники, всецело посвятившие себя вопросам графики, исчислялись единицами. Совершенно отсутствовала отечественная фабрикация чертежных инструментов.
VI. Успехи теоретической и прикладной графики в Советском Союзе
Состав учащихся высшей школы при советской власти значительно изменился, особенно с организацией рабочих факультетов. Состав слушателей втузов стал пополняться в значительной степени рабочими от станка, привыкшими с уважением относиться к чертежу изготовляемой детали. В высшую школу новые студенты принесли свои запросы в отношении технической графики и встретили горячий отклик со стороны учителей. Своим серьезным отношением к чертежу как к неотъемлемому элементу в любой отрасли производства новое студенчество подняло значение графических дисциплин. Однако на первых порах наблюдалось излишнее увлечение прикладной стороной дела, в ущерб теории, и умаление удельного веса теории этих дисциплин в учебных планах высшей школы. Все это не могло не отразиться на научной работе в области графики и на печатании научных статей, относящихся к этой области.
Такое состояние продолжалось недолго. Втузы стали быстро крепнуть, так как неуклонно росла забота партии и советского
правительства о высшей школе. Создались благоприятные условия и для развития науки о графике. В этом смысле новые учебные планы выгодно отличались от прежних. При втузах организовались самостоятельные кафедры, объединившие все виды графических дисциплин, что обеспечило единую линию в работе.
Для руководства кафедрами привлечены были наиболее крупные научные силы, объединившие вокруг себя молодых научных работников. Создалась база как для научной работы, так и для роста новых педагогических и научных кадров. За отсутствием специального печатного органа, стали возникать внутривузовские издания, которые явились рупором для коллективной мысли научных работников Советского Союза в области графики. Если собрать воедино все оригинальные мысли, извлеченные из этих изданий, то получится обширный материал для обмена опытом между нашими институтами. В периодических органах Всесоюзного комитета по делам высшей школы часто стали появляться статьи по наиболее актуальным вопросам графики.
Вслед за организацией кафедр начался рост научной мысли, проявившейся, главным образом, в защищенных впервые в нашей стране диссертационных работах по теоретической и прикладной графике. Первой такой работой явилась докторская диссертация Д. И. Каргина о точности графических расчетов, применяемых в различных отраслях инженерного дела. Вторая докторская диссертация была из области аксонометрии. Автор ее профессор А. И. Виксель в своей исследовательской работе дал указания проектировщикам сооружений, к каким видам аксонометрических изображений следует прибегать при решении встречающихся в строительной практике вопросов анализа проектирования различных конструкций архитектурных форм.
Большое число кандидатских диссертаций по графике выдвигало теоретические вопросы начертательной геометрии, имеющие прикладное значение в той или другой области техники. Назовем некоторые из них:
а) Способ совмещения с точки зрения обобщенной теории проекций (Г. М. Дешевой).
б) Форма поверхностей червячных зацеплений с точки зрения их проектирования (Н. В. Калинин).
в) Качение конических поверхностей одна по другой в приложении к теории водомеров (3. Ф. Сурина).
г) Способы определения площадей поверхностей и объемов изделий (Н. П. Попов).
д) Точность решения задач посредством графических расчетов усилий в пространственных фермах (Л. Н. Рынин).
е) Способ перемены плоскостей проекций как обобщенный метод (В. М. Дешевой).
ж) Теория анаглифических проекций и приложения ее к практике (А. П. Шестаков).
з) Определение площадей и объемов по проекциям (К. И. Будзько).
и) Аксонометрограф - прибор для автоматического вычерчивания аксонометрических проекций по ортогональным (Л. С. Скрипов).
к) Применение метода пространственных геометрических мест в начертательной геометрии (Г. Д. Ананов).
л) Графический метод определения профиля режущих инструментов для обработки винтовых поверхностей (Н. Ф. Борисевич).
м) Линейная перспектива на наклонной плоскости (А. Я. Зметный).
н) Метод проектирующих сферических поверхностей в применении к безосному проектированию на одну плоскость (А. П. Тиханович).
о) Применение начертательной геометрии к деревообработке (Е. А. Лебедев).
п) Применение метода аксонометрических проекций к решению задач пространственной статики (И. Н. Коковин).
р) Степени свободы в выборе основных параметров при установлении перспективного соответствия между оригиналом и изображением (Е. С. Тимрот).
Во время Великой Отечественной войны научная мысль не замирала. В Алма-ате в 1943 г. профессор Н. Ф. Четверухин защитил докторскую диссертацию на тему «Теория условных изображений. (Опыт параметрического исчисления изображений)», создав этой работой новый отдел начертательной геометрии.
Приведенные здесь темы диссертационных работ, разумеется, далеко не исчерпывают всего того, что сделано в этой области. Названные выше темы указаны для характеристики направления научно-исследовательской мысли советских ученых, преимущественно наших молодых сил. Оживление научной мысли поставило вопрос о плановой подготовке научных кадров, т. е. об аспирантуре по графике. Организованы были аспирантские группы в ряде втузов. Большой толчок к развитию научной мысли дали ежегодно проводимые во втузах научно-технические конференции. Там, где заслушивалось много докладов, были организованы специальные секции графики (Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта, Ленинградский железнодорожный электротехнический институт инженеров сигнализации и связи). В Ленинграде эти ячейки переросли в городской объединенный актив научных работников, группировавшихся вокруг Дома ученых. Образовавшийся научный центр в Москве, опирающийся на особую по вопросам графики Экспертную комиссию Всесоюзной Аттестационной комиссии, возглавил авторитетный ученый, профессор, доктор технических наук А. И. Добряков. Он является автором солидных учебников со строительно-архитектурным уклоном и многих исследовательских работ, преимущественно по теории теней и теории перспективы. Ему принадлежит простой способ построения перспективы, являющийся обобщением методов Дюрера.
Вырос круг авторов образцовых учебников по начертательной геометрии и графике. Назовем некоторых из них: Д. Г. Ананов, Н. А. Глаголев, В. М. Гордон, Б. Н. Каменев, Б. П. Николаев, А. Польшау, Н. А. Рынин, В. С. Соков, Н. Ф. Четверухин, М. А. Леонтьев, С. М. Куликов, И. И. Ярмолович.
Тематика исследовательских работ последнего времени стала разнообразнее и богаче. Имеются работы, двигающие вперед разработку теории методов изображений, рассматривающие вопросы применения графики (работы прикладного характера), в том числе и исследования, имеющие оборонное значение, методические и по истории графики.
Начертательная геометрия не случайно была вызвана к жизни в серьезнейшую для Франции эпоху революции 1789 г. Для новой Франции являлось вопросом жизни освобождение индустрии от иностранной зависимости, для чего, прежде всего, была проведена реформа образования. Начертательная геометрия культивировалась в технической школе как наука, без которой немыслимо образование инженера.
К словам Монжа о том, что «чертеж есть язык техника», профессор Курдюмов добавил слова: «начертательная геометрия - грамматика этого языка», оттенив тем самым научное значение дисциплины.
Двести лет прошло со дня рождения великого математика.
Полтораста лет существует созданная его гением новая наука.
Отмечая эти юбилейные даты, работники советской науки с удовлетворением могут сказать, что брошенные Монжем семена богатыми всходами произросли на нашей родной почве.
Популярные статьи сайта из раздела «Сны и магия»
.
Магия приворота
Приворот является магическим воздействием на человека помимо его воли. Принято различать два вида приворота – любовный и сексуальный. Чем же они отличаются между собой?
По данным статистики, наши соотечественницы ежегодно тратят баснословные суммы денег на экстрасенсов, гадалок. Воистину, вера в силу слова огромна. Но оправдана ли она?
Порча насылается на человека намеренно, при этом считается, что она действует на биоэнергетику жертвы. Наиболее уязвимыми являются дети, беременные и кормящие женщины.
Испокон веков люди пытались приворожить любимого человека и делали это с помощью магии. Существуют готовые рецепты приворотов, но надежнее обратиться к магу.
Достаточно ясные образы из сна производят неизгладимое впечатление на проснувшегося человека. Если через какое-то время события во сне воплощаются наяву, то люди убеждаются в том, что данный сон был вещим. Вещие сны отличаются от обычных тем, что они, за редким исключением, имеют прямое значение. Вещий сон всегда яркий, запоминающийся...
Существует стойкое убеждение, что сны про умерших людей не относятся к жанру ужасов, а, напротив, часто являются вещими снами. Так, например, стоит прислушиваться к словам покойников, потому что все они как правило являются прямыми и правдивыми, в отличие от иносказаний, которые произносят другие персонажи наших сновидений...
Если приснился какой-то плохой сон, то он запоминается почти всем и не выходит из головы длительное время. Часто человека пугает даже не столько само содержимое сновидения, а его последствия, ведь большинство из нас верит, что сны мы видим совсем не напрасно. Как выяснили ученые, плохой сон чаще всего снится человеку уже под самое утро...
Согласно Миллеру, сны, в которых снятся кошки – знак, предвещающий неудачу. Кроме случаев, когда кошку удается убить или прогнать. Если кошка нападает на сновидца, то это означает...
Как правило, змеи – это всегда что-то нехорошее, это предвестники будущих неприятностей. Если снятся змеи, которые активно шевелятся и извиваются, то говорят о том, что ...
Снятся деньги обычно к хлопотам, связанным с самыми разными сферами жизни людей. При этом надо обращать внимание, что за деньги снятся – медные, золотые или бумажные...
Сонник Миллера обещает, что если во сне паук плетет паутину, то в доме все будет спокойно и мирно, а если просто снятся пауки, то надо более внимательно отнестись к своей работе, и тогда...
При выборе имени для ребенка необходимо обращать внимание на сочетание выбранного имени и отчества. Предлагаем вам несколько практических советов и рекомендаций.
Хорошее сочетание имени и фамилии играет заметную роль для формирования комфортного существования и счастливой судьбы каждого из нас. Как же его добиться?
Еще недавно многие полагали, что брак по расчету - это архаический пережиток прошлого. Тем не менее, этот вид брака благополучно существует и в наши дни.
Очевидно, что уход за собой необходим любой девушке и женщине в любом возрасте. Но в чем он должен заключаться? С чего начать?
Представляем вам примерный список процедур по уходу за собой в домашних условиях, который вы можете взять за основу и переделать непосредственно под себя.
Та-а-а-к… Повеселилась вчера на дружеской вечеринке… а сегодня из зеркала смотрит на меня незнакомая тётя: убедительные круги под глазами, синева, а первые морщинки
просто кричат о моём биологическом возрасте всем окружающим. Выход один – маскироваться!
Нанесение косметических масок для кожи - одна из самых популярных и эффективных процедур, заметно улучшающая состояние кожных покровов и позволяющая насытить кожу лица необходимыми витаминами. Приготовление масок занимает буквально несколько минут!
Каждая женщина в состоянии выглядеть исключительно стильно, тратя на обновление своего гардероба вполне посильные суммы. И добиться этого совсем несложно – достаточно следовать нескольким простым правилам.
С давних времен и до наших дней люди верят в магическую силу камней, в то, что энергия камня сможет защитить от опасности, поможет человеку быть здоровым и счастливым.
Для выбора амулета не очень важно, соответствует ли минерал нужному знаку Зодиака его владельца. Тут дело совершенно в другом.
© Все права на статьи принадлежат авторам сайта, если не указано иное.
16 +