Прежде, чем перейти к рассмотрению работ самого Монжа по математике, уясним, каково было положение дел с геометрией в пространстве к тому времени, когда Монж выступил с своими научными работами.
Аналитическая геометрия Декарта, как известно, появилась в 1637 г. Это была аналитическая геометрия на плоскости, рассматривавшая свойства плоских линий в зависимости от тех алгебраических уравнений между координатами, которыми эти линии выражаются. Тогда же, благодаря работам Роберваля (придумавшего те весы, которые ныне стоят в любой лавочке) и других ученых и, наконец, благодаря Ньютону и Лейбницу, начал развиваться анализ бесконечно малых, главным образом на примерах из дифференциальной геометрии плоских кривых. Были решены такие задачи дифференциальной геометрии на плоскости, как задачи о касательных и о нормалях к кривым, о радиусе кривизны, максимумах и минимумах, эволютах и обертках для плоских кривых.
Совсем иначе обстояло дело с геометрией в пространстве.
Первые серьезные исследования по геометрии в пространстве появились лишь в 30-х годах XVIII столетия, т. е. через 90 лет после книги Декарта. Прежде всего, Иоганн Бернулли вывел дифференциальное уравнение кратчайшей (так называемой геодезической) линии, соединяющей две точки для любой кривом поверхности, затем в 1732 г. появилась работа Клеро, содержащая первые теоремы о пространственных кривых, называемых им иначе кривыми двоякой кривизны. В частности, в связи с вопросами геодезии, Клеро нашел геодезические линии на сфероиде, т. е. на сжатом эллипсоиде вращения. Эйлер в ряде замечательных работ дал первые общие теоремы о кривизне поверхностей, а именно показал, что, какова бы ни была поверхность, если взять в какой-либо ее точке М нормаль к ней, т. е. перпендикуляр к бесконечно-малому плоскому ее элементу в этой точке, и рассматривать сечения поверхности плоскостями, проходящими через эту нормаль, то будет существовать одно сечение, у которого кривизна в точке М наибольшая, и другое, у которого кривизна наименьшая (так называемые нормальные сечения, причем плоскости этих сечений будут взаимно перпендикулярны). Эта теорема Эйлера была им получена не геометрически, а путем довольно сложных выкладок. В области дифференциальной геометрии в пространстве Эйлер школы не создал.
Таково было положение дел с геометрией в пространстве к началу научных работ Монжа.
Монж в период своего профессорства в провинциальной Мезьерской школе, готовившей в то время военных инженеров для всей Франции, дал ряд первоклассных работ по геометрии в пространстве.
Он создал важную по своим применениям новую отрасль геометрии — начертательную геометрию, — являющуюся и поныне обязательной для изучения почти в любом втузе.
Подобно тому, как элементарная геометрия и посейчас излагается почти так, как у Эвклида, или аналитическая геометрия — близко к тому, как ее изложил Декарт, начертательная геометрия рассматривается и сейчас весьма близко к тому, как ее изложил Монж. Это ли не доказательство необыкновенного совершенства и жизненности его творений? Для того, чтобы при помощи чертежа точно изобразить пространственную фигуру, уже давно, до Монжа, пользовались изображением различных ее проекций, но разные специалисты делали это различно, так как общего метода разработано не было. Его создал Монж.
Пространственный объект проектируется ортогонально (т. е. перпендикулярами) на плоскость и так же проектируется на некоторую другую ей перпендикулярную плоскость, и затем одна из этих плоскостей поворачивается вокруг прямой пересечения этих плоскостей, пока не совместится с другой. В результате на одной и той же плоскости оказываются две различные проекции рассматриваемого объекта, по которым уже можно, методами Монжа, восстановить все размеры, углы и т. д., имеющиеся у данного пространственного объекта в натуре. Вот и весь метод. Дело так просто, что когда современник Монжа, крупнейший математик Лагранж, прослушал одну из его лекций по начертательной геометрии, то сказал: «Не слыхав Монжа, я не представлял, что я уже хорошо знаю начертательную геометрию».
Как сам Монж, так и его ученики впервые применили обратный метод использования пространственных отображений при доказательстве теорем планиметрии, при котором исследуемая плоская фигура рассматривается как проекция некоторой пространственной.
В провинциальной Мезьерской школе, где Монж работал до переезда в 1784 г. в Париж, он выполнил свои знаменитые работы по дифференциальной геометрии в пространстве.
В работе, представленной в Парижскую академию в 1771 г., Монж производит глубокий анализ пространственных кривых. До Монжа радиус кривизны рассматривался только для плоских кривых. Что такое радиус плоской кривой? Возьмем какую-нибудь точку плоской кривой и подберем окружность, которая была бы так же изогнута, как элемент данной кривой около этой точки. Радиус указанной окружности называется радиусом кривизны взятой плоской кривой в этой ее точке, а центр окружности — центром кривизны рассматриваемой плоской кривой, соответствующим этой ее точке. Монж показывает, что аналогом центров кривизны плоской кривой для пространственной кривой являются ее полярные прямые, что геометрическое место ее полярных прямых есть поверхность, которую можно разогнуть в плоскость, и т. д. и т. д. Все наиболее трудные вопросы о пространственных кривых, которые остались нерешенными Клеро, решил Монж.
В 1776 г. молодой 22-летний ученик Монжа по Мезьерской школе Менье представил Парижской Академии мемуар о кривизне поверхностей, написанный под непосредственным влиянием Монжа. В этом мемуаре Менье сравнивал изогнутость маленького кусочка поверхности в окрестности произвольной ее точки с изогнутостью некоторого эллиптического или седлообразного гиперболического параболоида. Параболоид здесь играет ту же роль, какую выполняет окружность при изучении кривизны плоских кривых. Из этого сравнения выясняется изогнутость любой поверхности в окрестности заданной точки. Менье получает свою известную формулу для радиуса кривизны любого плоского сечения. Здесь, как и выше, f — угол следа секущей плоскости на касательной плоскости к поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль и дающей наибольшую кривизну сечения, а y — угол секущей плоскости с нормалью.
Далее Менье получает две простейшие нетривиальные минимальные поверхности (катеноид и геликоид), т. е. такие, которые, из всех натянутых на данный каркас, имеют наименьшую площадь. Минимальную поверхность образует, например, мыльная пленка, натянутая на данный каркас.
Монж в появившемся в 1784 г. «Memoire sur la theorie des deblais et des remblais» (т. е. мемуар о выемках и насыпях) и связанном с земляными работами при возведении крепостей и постройке дорог, между прочим, строит две важные математические теории. Во-первых, он рассматривает общие свойства двупараметрических систем прямых в пространстве, которые теперь называются конгруэнциями прямых. Такую систему образуют, например, все нормали к данной поверхности, или все прямые, проходящие через одну точку. В задаче Монжа — это кратчайшие пути частиц земли при переносе ее из выемки в насыпь. Во-вторых, Монж в этом мемуаре впервые рассматривает так называемые линии кривизны на поверхности и их свойства. Если взять две бесконечно близкие точки на поверхности, то нормали к поверхности, проведенные в этих точках, вообще говоря, не пересекаются. Монж обнаружил, что на всякой поверхности существуют такие линии, что бесконечно близкие нормали к поверхности, проведенные в точках этих линий, попарно пересекаются. Линии эти Монж назвал линиями кривизны. Через каждую точку поверхности проходят по ней две перпендикулярные друг к другу линии кривизны.
Подчеркивая совершенную общность главных нормальных сечений Эйлера и линий кривизны Монжа, т. е., что они имеются в любом месте, на любой гладкой кривой поверхности, Араго говорит: «Линии кривизны так же удивительны, как главные сечения Эйлера. Таким образом, имена этих знаменитых геометров навсегда будут соединены двумя капитальными открытиями в общей теории поверхностей». Лагранж, узнав об этом открытии Монжа, сказал: «Вы, любезный друг, открыли превосходные теоремы; я желал бы, чтобы это открытие было сделано мною». Монж признавался впоследствии, что ни один комплимент не доставил ему такого удовольствия.
Мы переходим теперь к самой капитальной работе Монжа.
Когда Декарт приложил алгебру к геометрии, то геометры применили это открытие прежде всего к исследованию плоских линий, выражаемых уравнениями первой и второй степени. Ньютон занимался линиями третьей степени и насчитал их 72. Очевидно, что эта классификация линий для четвертой степени, а тем более для поверхностей высших степеней, невозможна по своей сложности.
Имея всегда в виду практическую пользу, Монж сообразил, что когда надобно употребить в дело некоторую поверхность, то инженеры не заботятся о степени ее уравнения, но имеют необходимость в ясном понятии об ее происхождении, не обращая внимания на, так сказать, алгебраическую иерархию поверхностей. Первые работы Монжа об уравнениях поверхностей, выражающих их происхождение, были напечатаны в «Записках Туринской академии» за 1770 и 1773 гг. Лагранж, получив работы Монжа, сказал: «Этот пострел со своим происхождением поверхностей идет к бессмертию». Араго считает, что в словах Лагранжа нет и тени зависти; напротив, они являются самой чистосердечной похвалой труду Монжа.
Работы Монжа о конечных и дифференциальных уравнениях разных поверхностей, заданных способом их образования, печатались сначала в 1795 г. в виде отдельных тетрадей для пользования студентов Политехнической школы. Затем эти «Feuilles d'analyse applique a la geometric» вышли еще раз в 1801 г. Далее в значительно расширенном виде, большой книгой под названием «Application de l'analyse a la geometric» (т. е. «Приложение анализа к геометрии») были изданы в 1804 и 1809 гг. и, наконец, после смерти Монжа, в 1828 г. были выпущены под редакцией Луивилля, с приложением перевода работы Гаусса по теории поверхностей.
Перечислив некоторые из родов поверхностей, которые рассматриваются в этой знаменитой книге Монжа: поверхности цилиндрические, т. е. образуемые любым движением в пространстве прямой, остающейся параллельной самой себе; конические — образуемые любым движением прямой, проходящей через зафиксированную точку, вершину конуса; поверхности вращения; поверхности, получаемые любым движением горизонтальной прямой, проходящей все время через зафиксированную вертикальную прямую; поверхности «каналов», т. е. поверхности круглых трубок постоянного диаметра, получающиеся, если центр заданной окружности двигать по любой заданной кривой так, чтобы ее плоскость оставалась перпендикулярной к этой кривой; поверхности, у которых линия наибольшего ската везде образует постоянный угол с горизонтальной плоскостью, т. е. поверхности склонов насыпей; поверхности, развертывающиеся, т. е. такие, которые могут быть получены изгибанием плоского листа; поверхности переноса, т. е. такие, которые образуются любым параллельным передвижением в пространстве неизменной кривой, и т. д. После этого Монж рассматривает теорию линий кривизны и, в частности, находит линии кривизны на общем трехосном эллипсоиде. Затем он рассматривает поверхности, одно из семейств линий кривизны которых плоское, и поверхности, у которых один из главных радиусов кривизны постоянен, или главные радиусы кривизны везде равны между собой по величине и обратны по знаку, т. е. их сумма равна нулю (минимальные поверхности). Если бы Монж здесь рассмотрел произведение главных радиусов кривизны поверхности, то он, по всей вероятности, натолкнулся бы на псевдосферу, полученную Бельтрами только спустя 75 лет, и, может быть, пришел бы к соображениям, близким геометрии Лобачевского, созданной через 35 лет после этой работы Монжа. Но Монж эту величину не догадался рассмотреть. Далее Монж рассматривает уравнения линейчатых поверхностей, т. е. поверхностей, получаемых любым движением прямой в пространстве, а также поверхности, все нормали которых являются касательными данной сфере, к данному круговому конусу или к произвольной данной развертывающейся поверхности.
В виде приложения к книге Монж дает свою теорию интегрирования уравнений с частными производными первого порядка и знаменитое свое решение задачи о колебании струны. Для каждого из видов поверхностей, рассматриваемых Монжем, он дает сначала дифференциальное, а затем конечное уравнение. Дифференциальное уравнение получается с частными производными от 2 по х и по у первого или второго порядка. Конечное уравнение содержит соответственно одну или две произвольные функции. Монж ввел применяемое и сейчас обозначение буквами р и q частных производных от z по х и у и буквами r, s, t производных второго порядка.
Исходя из многочисленных частных задач, Монж построил свой способ решения дифференциальных уравнений с частными производными, основанный на чисто геометрических соображениях. Он рассматривал линии пересечения соседних поверхностей семейства, так называемые характеристики. Теорию характеристик Монж кладет в основу общего метода интегрирования уравнений с частными производными первого, а также некоторых уравнений с частными производными второго порядка, носящих и теперь его имя.
От Монжа идет замечательная плеяда французских геометров — его учеников. Карно (1753—1823), давший первые работы нового времени, относящиеся к проективной геометрии; Менье (1754—1793), опубликовавший ряд первоклассных работ по дифференциальной геометрии; Малюс (1775—1812), открывший поляризацию света отражением и, в связи с рассмотрением лучей, отраженных от кривой поверхности, подвинувший теорию конгруэнции, впервые рассмотренную Монжем в его мемуаре о выемках и насыпях; замечательный дифференциальный геометр Дюпен (1784—1873), придумавший, между прочим, так называемую индикатриссу Дюпена и введший в рассмотрение асимптотические линии на поверхностях; наконец Понселе (1788—1867), знаменитый создатель проективной геометрии, свою основную книгу «Traite des proprietes projectives des figures» написавший в бытность свою в русском плену в Саратове после разгрома Наполеона в 1812 г. Гениальный механик Пуансо (1777—1859) также был учеником Монжа. Даже великий аналист Коши (1789—1857) начал в юности с блестящих работ по геометрии — с доказательства того, что четырьмя телами Пуансо исчерпываются все невыпуклые правильные многогранники, и со своей знаменитой теоремы о жесткости произвольного выпуклого многогранника. Подведем итоги.
Что же, собственно, сделал Монж самого важного в математике? Монж первый перешел от изучения геометрии на плоскости к глубокому изучению геометрии в пространстве. Все его математическое творчество проникнуто пространственными соображениями. Его начертательная геометрия, теория образования поверхностей, геометрия дифференциальных уравнений — все это замечательные примеры пространственной интуиции. Монж — первый «стереометр» нового времени. Монж также впервые ввел в употребление математические модели.
Не надо, однако, забывать, что работы Монжа в области математики не исчерпывают его научных заслуг в ряде других областей. В 1873 г., почти одновременно с Кавендишем, он дал первое разложение воды на водород и кислород. Совершенно исключительна его роль в создании начертательной геометрии как науки. Но Монж был не только ученым, а и крупнейшим общественно-политическим деятелем своего времени. Все это подробно освещено в последующих статьях.
Популярные статьи сайта из раздела «Сны и магия»
.
Магия приворота
Приворот является магическим воздействием на человека помимо его воли. Принято различать два вида приворота – любовный и сексуальный. Чем же они отличаются между собой?
По данным статистики, наши соотечественницы ежегодно тратят баснословные суммы денег на экстрасенсов, гадалок. Воистину, вера в силу слова огромна. Но оправдана ли она?
Порча насылается на человека намеренно, при этом считается, что она действует на биоэнергетику жертвы. Наиболее уязвимыми являются дети, беременные и кормящие женщины.
Испокон веков люди пытались приворожить любимого человека и делали это с помощью магии. Существуют готовые рецепты приворотов, но надежнее обратиться к магу.
Достаточно ясные образы из сна производят неизгладимое впечатление на проснувшегося человека. Если через какое-то время события во сне воплощаются наяву, то люди убеждаются в том, что данный сон был вещим. Вещие сны отличаются от обычных тем, что они, за редким исключением, имеют прямое значение. Вещий сон всегда яркий, запоминающийся...
Существует стойкое убеждение, что сны про умерших людей не относятся к жанру ужасов, а, напротив, часто являются вещими снами. Так, например, стоит прислушиваться к словам покойников, потому что все они как правило являются прямыми и правдивыми, в отличие от иносказаний, которые произносят другие персонажи наших сновидений...
Если приснился какой-то плохой сон, то он запоминается почти всем и не выходит из головы длительное время. Часто человека пугает даже не столько само содержимое сновидения, а его последствия, ведь большинство из нас верит, что сны мы видим совсем не напрасно. Как выяснили ученые, плохой сон чаще всего снится человеку уже под самое утро...
Согласно Миллеру, сны, в которых снятся кошки – знак, предвещающий неудачу. Кроме случаев, когда кошку удается убить или прогнать. Если кошка нападает на сновидца, то это означает...
Как правило, змеи – это всегда что-то нехорошее, это предвестники будущих неприятностей. Если снятся змеи, которые активно шевелятся и извиваются, то говорят о том, что ...
Снятся деньги обычно к хлопотам, связанным с самыми разными сферами жизни людей. При этом надо обращать внимание, что за деньги снятся – медные, золотые или бумажные...
Сонник Миллера обещает, что если во сне паук плетет паутину, то в доме все будет спокойно и мирно, а если просто снятся пауки, то надо более внимательно отнестись к своей работе, и тогда...
При выборе имени для ребенка необходимо обращать внимание на сочетание выбранного имени и отчества. Предлагаем вам несколько практических советов и рекомендаций.
Хорошее сочетание имени и фамилии играет заметную роль для формирования комфортного существования и счастливой судьбы каждого из нас. Как же его добиться?
Еще недавно многие полагали, что брак по расчету - это архаический пережиток прошлого. Тем не менее, этот вид брака благополучно существует и в наши дни.
Очевидно, что уход за собой необходим любой девушке и женщине в любом возрасте. Но в чем он должен заключаться? С чего начать?
Представляем вам примерный список процедур по уходу за собой в домашних условиях, который вы можете взять за основу и переделать непосредственно под себя.
Та-а-а-к… Повеселилась вчера на дружеской вечеринке… а сегодня из зеркала смотрит на меня незнакомая тётя: убедительные круги под глазами, синева, а первые морщинки
просто кричат о моём биологическом возрасте всем окружающим. Выход один – маскироваться!
Нанесение косметических масок для кожи - одна из самых популярных и эффективных процедур, заметно улучшающая состояние кожных покровов и позволяющая насытить кожу лица необходимыми витаминами. Приготовление масок занимает буквально несколько минут!
Каждая женщина в состоянии выглядеть исключительно стильно, тратя на обновление своего гардероба вполне посильные суммы. И добиться этого совсем несложно – достаточно следовать нескольким простым правилам.
С давних времен и до наших дней люди верят в магическую силу камней, в то, что энергия камня сможет защитить от опасности, поможет человеку быть здоровым и счастливым.
Для выбора амулета не очень важно, соответствует ли минерал нужному знаку Зодиака его владельца. Тут дело совершенно в другом.
© Все права на статьи принадлежат авторам сайта, если не указано иное.
16 +